癡老頭獄中攻難題

在陰森森的監(jiān)獄里，坐著一個(gè)又干又瘦的老頭兒，他一言不發(fā)，手里拿著一根木尺和一根繩子，在潮濕的地上又是畫(huà)直線，又是畫(huà)圓弧，忙得不亦樂(lè)乎。好奇的同伴圍上去看熱鬧，一打聽(tīng)，才知道他叫亞拿撒哥拉斯，是古希臘愛(ài)奧尼亞學(xué)派有名的大學(xué)者。坐牢的事他只字不提，卻津津有味地大談起他的研究_怎樣用圓規(guī)和直尺畫(huà)一個(gè)正方形，使她和已知圓的面積相等。聽(tīng)的人都禁不住好笑，坐牢就老老實(shí)實(shí)地坐吧，還要去胡折騰。圓是曲線形，怎么可能畫(huà)出一個(gè)直線形與她面積相等呢？這不是自找罪受！

這些人的說(shuō)法其實(shí)并不一定正確，曲線形就一定化不成直線形嗎？請(qǐng)看圖1的拋物線，她的方程是y＝-3x^2 +3。這個(gè)拋物線和x軸圍成一個(gè)曲線形（圖中陰影部分）。要作一個(gè)和她面積相等的正方形，真是易如反掌，只需要作一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形（虛線所示）就成了。

圖1

雖然如此，老頭兒的研究卻始終沒(méi)有成功。老頭兒后來(lái)不知所終，但是他研究的這個(gè)問(wèn)題卻傳了下來(lái)，叫做 “化圓為方”，成為古代“幾何三大難題”之一（另外兩大難題是“三等分任意角”，“立方倍積”）。

古希臘學(xué)者希波克拉底（約公元前460-前377）對(duì)“化圓為方”問(wèn)題非常感興趣，而且信心十足，認(rèn)為可以“手到擒拿”。 原來(lái)他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)十分有趣的“月形定理”。如圖2, △ABC 是一個(gè)直角三角形。分別以AC、CB、AB為直徑向上方畫(huà)半圓。根據(jù)勾股定理可知_

故容易證得半圓AC＋半圓CB＝半圓AB。（因?yàn)閳A面積與直徑或半徑的平方成正比）。

圖2

同減去公共部分（沒(méi)有陰影的部分），就得到月牙形I+月牙形Ⅱ_△ABC。如果AC_CB，則月牙形I_月牙形Ⅱ_(1/2)△ABC。希波克拉底認(rèn)為，既然比圓形更復(fù)雜的月牙形很容易就化成了三角形。那么，圓形化成正方形不是就更加輕而易舉了嗎？可是，他的如意算盤(pán)打錯(cuò)了，到他死的時(shí)候也沒(méi)有能夠化圓為方。

將近兩千年的時(shí)間過(guò)去了，無(wú)數(shù)學(xué)者“化圓為方”的種種企圖都告失敗。到了文藝復(fù)興時(shí)代，出了一個(gè)大畫(huà)家兼科學(xué)家達(dá)?芬奇（1452-1519)，他宣布能夠化圓為方，并且可以當(dāng)眾試驗(yàn)。他拿來(lái)一個(gè)圓柱，底面和已知圓相等，高等于已知圓半徑的1/2。他把圓柱在平面上滾動(dòng)一圈，產(chǎn)生一個(gè)矩形（圖3）。達(dá)?芬奇像變魔術(shù)似地指著這個(gè)矩形說(shuō)_“諸位，她的面積就等于已知圓的面積！因?yàn)榫匦蔚拿娣e＝2πr?(r/2)_ (πr)^2＝已知圓面積。”馬上就有人指出，達(dá)?芬奇先生是在開(kāi)玩笑_因?yàn)樗倪@個(gè)“作圖法”大大違反了圓規(guī)直尺的嚴(yán)格限制。不錯(cuò)，達(dá)?芬奇畢竟是個(gè)藝術(shù)大師呀！

圖3

兩千年的無(wú)數(shù)次失敗，使人產(chǎn)生了懷疑， “嫌疑犯”就是那個(gè)π。π是個(gè)什么東西呀？她為什么老不肯就范？要弄清“化圓為方”，關(guān)鍵就是要摸清π的底細(xì)。這又得回頭去，從兩千多年前的一樁公案談起。

勇青年海上遭橫禍

古希臘大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯早年云游各地，后來(lái)在意大利的克洛吞定居，并成立了一個(gè)半宗教半學(xué)術(shù)的團(tuán)體，自己擔(dān)任領(lǐng)袖和數(shù)學(xué)教師。團(tuán)體的紀(jì)律森嚴(yán)，誰(shuí)要是違反了“教規(guī)”，可以處以極刑。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，世界上的萬(wàn)事萬(wàn)物都是由“數(shù)”構(gòu)成的，一切現(xiàn)象都可以歸納成為“整數(shù)”或“整數(shù)之比”（分?jǐn)?shù)），“整數(shù)”和“分?jǐn)?shù)”構(gòu)成了美妙無(wú)比的宇宙。這就是畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為天經(jīng)地義的一套哲學(xué)。比如畢氏的弟子們研究了樂(lè)音的音階，他們發(fā)現(xiàn)，如果把“中音1”的弦長(zhǎng)定為1，則“高音i”的弦長(zhǎng)就是1/2，音階與弦長(zhǎng)有如下的妙不可言的分?jǐn)?shù)關(guān)系_

圖4

他們甚至相信，一切行星在她們的軌道上運(yùn)行時(shí)也一定會(huì)發(fā)出一種來(lái)自天上的、整數(shù)比的樂(lè)音_天體音樂(lè)。

誰(shuí)知他們的狂熱，被一個(gè)人狠狠地潑了一瓢冷水，這就是入會(huì)不久的希帕斯。希帕斯是個(gè)勤奮好學(xué)的青年，他善于獨(dú)立思考，不盲從附合。他學(xué)了勾股定理以后發(fā)現(xiàn)，如果正方形的邊長(zhǎng)為1，那么對(duì)角線的長(zhǎng)度既不能表示為整數(shù)，也不能表示為分?jǐn)?shù)。這個(gè)前所未有的新數(shù)，叫人很傷腦筋，但她的確存在。希帕斯的發(fā)現(xiàn)如象一聲晴天霹靂，動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯整個(gè)關(guān)于數(shù)的神秘主義的哲學(xué)基礎(chǔ)。畢氏大驚失色， 惶恐不安，立刻下令封鎖消息。可是怎么封鎖得住呢？一傳十，十傳百，早傳開(kāi)了。畢氏十分惱火，命令他的門(mén)徒捉拿希帕斯。希帕斯并不屈服，逃離了這個(gè)學(xué)會(huì)。這群盲從的門(mén)徒，緊追不舍，結(jié)果在地中海的一只船上抓住了希帕斯。希帕斯并不屈服，逃離了這個(gè)學(xué)會(huì)。這群盲從的門(mén)徒，緊追不舍，結(jié)果在地中海的一只船上抓住了希帕斯。按照首腦的命令，把希帕斯扔到了海里。

圖5

希帕斯發(fā)現(xiàn)的新數(shù)就是無(wú)理數(shù)根號(hào)2。無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)上的一次重大突破。對(duì)數(shù)學(xué)作出如此重大貢獻(xiàn)的希帕斯，既沒(méi)有得到“博士學(xué)位”，又沒(méi)有領(lǐng)到“菲爾茲獎(jiǎng)”，卻得到如此下場(chǎng)，真是數(shù)學(xué)史上的一大悲劇。

希帕斯死后，人們繼續(xù)發(fā)現(xiàn)了許許多多的無(wú)理數(shù)。這種數(shù)雖然“無(wú)理”（既除不盡又不循環(huán)），人們還是終于承認(rèn)了她的存在。她給解方程帶來(lái)了很大的方便。

劉維爾的驚人發(fā)現(xiàn)

整數(shù)、分?jǐn)?shù)合稱有理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)有一個(gè)共同的性質(zhì)，她們都可以看作是整系數(shù)代數(shù)方程的根。比如5/7就是方程7x-5_0的根，2^(1/3)就是方程x^3-2_ 0的根，等等。因此，這類數(shù)，我們叫她“代數(shù)數(shù)”。

人們自然會(huì)提出這樣的問(wèn)題_有沒(méi)有不是代數(shù)數(shù)的數(shù)呢？

法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾（1809-1882）解答了這個(gè)問(wèn)題。他首先從理論上證明了確實(shí)有這種非代數(shù)數(shù)的數(shù)存在（這種數(shù)取名“超越數(shù)”）。接著在1851年，他找到了第一個(gè)超越數(shù)

（小數(shù)點(diǎn)后第1、第2、第6、第24、第120位……處有一個(gè)1，其余均為0。）

為了紀(jì)念這一重大發(fā)現(xiàn)，人們把這個(gè)數(shù)叫做“劉維爾數(shù)”。不久，法國(guó)數(shù)學(xué)家埃米特(1822-1901）證明了自然對(duì)數(shù)的底

也是一個(gè)超越數(shù)。

后來(lái)人們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)值如log2，三角函數(shù)值如sin1°等等都是超越數(shù)。1900年，希爾伯特（1862-1943）在著名的一次講演中提出23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中的第7個(gè)問(wèn)題就是猜測(cè)象這種數(shù)是超越數(shù)。后來(lái)在1934年，蘇聯(lián)蓋爾馮德和施奈德分別證明了這種數(shù)的超越性。

特別使人感到驚奇的是_實(shí)數(shù)數(shù)軸上幾乎全部的數(shù)都是這種超越數(shù)！這就是說(shuō)，和我們的預(yù)料恰恰相反，所有的代數(shù)數(shù)不但不能夠把數(shù)軸填滿，而且如果把超越數(shù)統(tǒng)統(tǒng)抽掉，數(shù)軸上就只剩下稀稀拉拉的少得十分可憐的代數(shù)數(shù)了。這真是有點(diǎn)叫人不敢相信，但事實(shí)就是如此！

圖6

對(duì)于超越數(shù)的研究，現(xiàn)在還非常不夠。至今數(shù)學(xué)家還弄不清楚，任意兩個(gè)超越數(shù)之和還是不是超越數(shù)呢！

林德曼掃興收?qǐng)?/h1>

繞了這么大一個(gè)圈子，現(xiàn)在書(shū)歸正傳，“化圓為方”的作圖到底可不可能呢？

現(xiàn)在我們來(lái)研究一下圓的面積。圓面積_πr^2，所以關(guān)鍵問(wèn)題就在π是一個(gè)什么樣的數(shù)了。

如果π是一個(gè)整數(shù)，比如3，那么化圓為方當(dāng)然是易如反掌了，可惜不是。

如果π是一個(gè)分?jǐn)?shù)，比如22/7，那么化圓為方也很容易解決了，可惜也不是。

如果π是一個(gè)無(wú)理數(shù)呢？那得看是什么樣的無(wú)理數(shù)。用解析幾何容易證明，凡是用圓規(guī)直尺能夠作出的數(shù)都是_由表示單位長(zhǎng)度的1，經(jīng)過(guò)有限次加、減、乘、除以及開(kāi)平方所得的實(shí)數(shù)。比如

等等，都能用圓規(guī)直尺作出。而就不可能。所以，在十八世紀(jì)只是證明了π是一個(gè)無(wú)理數(shù)的時(shí)候，并沒(méi)有中止那些“化圓為方”的熱心者的努力，他們覺(jué)得仍然存在一線希望。

1882年，德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼(1852-1939）證明了π是一個(gè)超越數(shù)，完全否定了“化圓為方”作圖的可能性，兩千多年來(lái)的“公案”才算有了一個(gè)收?qǐng)觥２贿^(guò)，這個(gè)收?qǐng)龊芰钅切嶂杂凇盎瘓A為方”問(wèn)題的人掃興。其實(shí)，兩千多年來(lái)人們的勞動(dòng)并沒(méi)有白費(fèi)，“化圓為方”雖然失敗了，但是人們?cè)谶@個(gè)過(guò)程中逐漸認(rèn)識(shí)了有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、代數(shù)數(shù)、超越數(shù)，建立了一個(gè)完整的實(shí)數(shù)系統(tǒng)。她的意義遠(yuǎn)比“化圓為方”要大得多哩！

由于林德曼的證明過(guò)于艱深，一般人很難看懂，因此不少存有僥幸心理的人，仍然繼續(xù)在那里徒勞無(wú)益地尋找“化圓為方”的答案。以致有的科學(xué)研究機(jī)關(guān)三番五次發(fā)出聲明，拒絕接受審查這一類不可能問(wèn)題的“論文”。法國(guó)天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家阿拉哥，稱這種人叫做“害了聰明病”的人， 并且用十劣幽默的口吻寫(xiě)道_“所有國(guó)家的科學(xué)院，在和追求解決方圓問(wèn)題的人們作斗爭(zhēng)中，發(fā)現(xiàn)一個(gè)事實(shí)，這個(gè)病癥一般都在春天的時(shí)候加劇。”